मान लीजिए कि अक्ष $X$ और $Y$,अक्ष $x$ और $y$ को $\theta$ कोण पर घुमाकर प्राप्त किए जाते हैं। यदि समीकरण $x^2+2 \sqrt{3} x y-y^2=4 a^2$ को $XY$-अक्षों के सापेक्ष $X^2-Y^2=2 a^2$ में परिवर्तित किया जाता है,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। पुरानी प्रणाली में बिंदु $(7,5)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है।
$I$. मूलबिंदु के दिए गए स्थानांतरण के तहत नए बिंदु पर जाता है।
$II$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित होता है।
$III$. नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है। बिंदु $(7,5)$ की अंतिम स्थिति क्या है?

यदि अक्षों को $135^{\circ}$ के कोण पर घुमाने पर बिंदु $M$ के निर्देशांक $(4, -3)$ हो जाते हैं,तो मूल प्रणाली में $M$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ हैं। जब अक्षों को मूलबिंदु को स्थिर रखते हुए एक दिए गए कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो इस रेखा $L$ के अंतःखंड $p$ और $q$ हो जाते हैं। तब

निर्देशांक अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूल बिंदु को $(h, 5)$ बिंदु पर स्थानांतरित करने पर,यदि समीकरण $y=x^3-9x^2+cx-d$,$Y=X^3$ में परिवर्तित हो जाता है,तो $\left(d-\frac{c}{h}\right)=$

यदि समीकरण $2x^2 - 3y^2 + 4xy + 4x + 4y - 14 = 0$ से प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए मूल बिंदु को स्थानांतरित किया जाता है,तो इस नई निर्देशांक प्रणाली के संदर्भ में,$x^2 + y^2 - 3xy + 4y + 3 = 0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?