अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 36$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं खींची गई हैं। यदि ये स्पर्श रेखाएं बिंदु $T(0, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\Delta PTQ$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक नाभि $(\sqrt{10}, 0)$ पर है और संगत नियता $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ है। यदि $e$ और $l$ क्रमशः $H$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं,तो $9(e^2 + l)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $x$ एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसका अनुप्रस्थ अक्ष उसके संयुग्मी अक्ष का दोगुना है। मान लीजिए $y$ एक अन्य अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसके लिए नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की $3$ गुनी है। तो $y^2-x^2=$

यदि मूल बिंदु पर केंद्रित और $(4, -2\sqrt{3})$ बिंदु से गुजरने वाले अतिपरवलय की नियता $5x = 4\sqrt{5}$ है और इसकी उत्केंद्रता $e$ है,तो

अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 + 18x + 32y - 151 = 0$ का केंद्र है

मान लीजिए $e_1$ एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसके लिए उसकी नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की $2$ गुनी है,और $e_2$ दूसरे अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसके लिए उसके अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई उसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है। तो $e_1 e_2 =$