$XY$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, -5)$ અને $B(-1, -2, -3)$ ને જોડતી રેખાને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?

જો બિંદુઓ $(1, 1, \lambda )$ અને $(-3, 0, 1)$ એ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે હોય,તો $\lambda$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

$(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 5$ તથા $\vec{r} \cdot (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 6$ સમતલોને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

રેખા $L$ ધ્યાનમાં લો જેનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$ છે. ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P_0(2,3,-1)$ નું રેખા $L$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે. ધારો કે સમતલ $P$ એવું છે કે તે $Q$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $L$ એ સમતલ $P$ ને લંબ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ સમતલ $P$ પર છે?

એક સીધી રેખા $\vec{r} = (1 + t)\hat{i} + 3t\hat{j} + (1 - t)\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં $t \in R$. જો આ રેખા સમતલ $x + y + cz = d$ માં આવેલી હોય,તો $(c + d)$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $L$ એ $\hat{i}-9 \hat{k}$ અને $7 \hat{j}+\hat{k}$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે અને $\pi$ એ $6 \hat{i}+\hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતું અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ સદિશને લંબ સમતલ છે. જો $\theta$ એ $L$ અને $\pi$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin \theta=$