एक घन (cube) के किन्हीं दो विकर्णों के बीच का | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। हम $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ शीर्षों वाले एक घन पर विचार

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$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। हम $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ शीर्षों वाले एक घन पर विचार करते हैं।घन के दो विकर्णों को सदिशों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।मान लीजिए $\vec{d_1}$ बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।मान लीजिए $\vec{d_2}$ बिंदु $(a,0,0)$ से $(0,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_2} = (0-a)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।इन दो सदिशों के बीच का कोण $	heta$,$\cos 	heta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है।परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\cos 	heta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$ है।इसलिए,$	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}ight)$ है।

एक घन (cube) के किन्हीं दो विकर्णों के बीच का कोण है

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