બિંદુ $(2, 3)$ આગળ ઉપવલય $9x^2 + 4y^2 = 72$ ના સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

જો ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ હોય અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $8$ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

બિંદુ $P(3,4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જે ઉપવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$1.$ $A$ અને $B$ ના યામો છે
$(A)$ $(3,0)$ અને $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ ત્રિકોણ $PAB$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ જેનું બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે છે
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

વિધાન $(A)$: રેખા $x+y=10$ માં $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ની પ્રતિબિંબ $\frac{(x-10)^2}{16}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$ છે.
કારણ $(R)$: રેખા $L$ માં વક્ર '$C$' નું પ્રતિબિંબ એ રેખા $L$ ના સાપેક્ષમાં $C$ ના દરેક બિંદુના પ્રતિબિંબનો બિંદુપથ છે.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે. $E_1$ અને $E_2$ ની મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $S$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $S, E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. ધારો કે $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે $E_1$ અને $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$