वक्र ay^2 = x^2(a - x), (a 0) के लूप द्वारा | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना

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$\frac{8}{15} a^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।समीकरण से,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,इसलिए $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$।लूप $x \in [0, a]$ के लिए मौजूद है।आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$माना $a - x = t^2$,तो $dx = -2t \, dt$। जब $x = 0, t = \sqrt{a}$ और जब $x = a, t = 0$।$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$।अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

वक्र $ay^2 = x^2(a - x), (a > 0)$ के लूप द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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