क्षेत्र S = {z in mathbb{C} : |z-1| leq 2, (z | vedclass

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Question

(B) माना $z = x + iy$ है। दिया गया है $|z-1| \leq 2$, जिससे हमें $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ प्राप्त होता है, जो $(1, 0)$ केंद्र और $r = 2$ त्रिज्या वाला

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$\frac{3 \pi}{2}$

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(B) माना $z = x + iy$ है। दिया गया है $|z-1| \leq 2$, जिससे हमें $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ प्राप्त होता है, जो $(1, 0)$ केंद्र और $r = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। दिया गया है $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$, इसमें $z = x+iy$ और $\overline{z} = x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$ $2x + i(2iy) \leq 2$ $2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$. दिया गया है $\operatorname{Im}(z) \geq 0$, जिससे $y \geq 0$ प्राप्त होता है। यह क्षेत्र वृत्त $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, अर्ध-तल $y \geq x-1$, और ऊपरी अर्ध-तल $y \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है। रेखा $y = x-1$ बिंदु $(1, 0)$ से गुजरती है और धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ (या $\pi/4$ रेडियन) का कोण बनाती है। क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल माइनस प्रथम चतुर्थांश में रेखा $y = x-1$ द्वारा काटे गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$. त्रिज्यखंड वृत्त के भीतर रेखा $y=x-1$ और $x$-अक्ष के बीच के क्षेत्र के अनुरूप है। केंद्र $(1, 0)$ पर इस त्रिज्यखंड द्वारा अंतरित कोण $\pi/4$ है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} r^2 	heta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$. आवश्यक क्षेत्रफल = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

क्षेत्र $S = \{z \in \mathbb{C} : |z-1| \leq 2, (z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2, \operatorname{Im}(z) \geq 0\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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मान लीजिए $z \neq -i$ कोई ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\frac{z - i}{z + i}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। तो $z + \frac{1}{z}$ क्या है?

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