પ્રદેશ S = {z in mathbb{C} : |z-1| leq 2, (z+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ $|z-1| \leq 2$ પરથી, આપણને $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ મળે છે, જે $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ $|z-1| \leq 2$ પરથી, આપણને $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ મળે છે, જે $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે। આપેલ $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$ માં $z = x+iy$ અને $\overline{z} = x-iy$ મૂકતા: $(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$ $2x + i(2iy) \leq 2$ $2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$. આપેલ $\operatorname{Im}(z) \geq 0$ પરથી, $y \geq 0$ મળે છે। આ પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, અર્ધતલ $y \geq x-1$ અને ઉપરના અર્ધતલ $y \geq 0$ નો છેદ છે। રેખા $y = x-1$ એ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ (અથવા $\pi/4$ રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે। ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $y = x-1$ દ્વારા કપાયેલા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે। અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$. વૃત્તાંશ એ વર્તુળની અંદર રેખા $y=x-1$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે। કેન્દ્ર $(1, 0)$ પર આ વૃત્તાંશ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\pi/4$ છે। વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} r^2 	heta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$. જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

પ્રદેશ $S = \{z \in \mathbb{C} : |z-1| \leq 2, (z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2, \operatorname{Im}(z) \geq 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ માટે,જો $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module