બે વર્તુળો x^2+y^2=1 અને (x-1)^2+y^2=1 દ્વારા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા મળે છે: $(x-1)^2+(1-x^2)=1$ $x^2-2x+1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા મળે છે: $(x-1)^2+(1-x^2)=1$ $x^2-2x+1+1-x^2=1$ $2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ $x=\frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ મળે,તેથી $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ અને $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 	imes \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 	imes \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$. સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight]_{1/2}^1$ $= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight]$ $= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$ $= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

$Na, Ne, Mg$ અને $Al$ ની દ્વિતીય આયનીકરણ એન્થાલ્પીનો સાચો ક્રમ નીચેનામાંથી કયો છે?

રાસાયણિક રીતે અંતઃસ્ત્રાવો (hormones) શું છે?

એક તત્વના ન્યુક્લિયસમાં $9$ પ્રોટોન છે. તેની સંયોજકતા કેટલી હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module