वक्रों y = |x^{2} - 1| और y = 1 द्वारा घिरा ह | vedclass

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Question

(D) वक्र $y = |x^{2} - 1|$ और $y = 1$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x^{2} - 1| = 1$ रखें। इसका अर्थ है $x^{2} - 1 = 1$ या $x^{2} - 1 = -1

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$\frac{8}{3}(\sqrt{2} - 1)$

Vedclass · Answer

(D) वक्र $y = |x^{2} - 1|$ और $y = 1$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x^{2} - 1| = 1$ रखें। इसका अर्थ है $x^{2} - 1 = 1$ या $x^{2} - 1 = -1$। $x^{2} = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$ और $x^{2} = 0 \implies x = 0$। $y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल $= 2 	imes$ (प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल)। प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = 0$ से $x = \sqrt{2}$ तक घिरा हुआ है। $0 \le x \le 1$ के लिए,$y = |x^{2} - 1| = 1 - x^{2}$। क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (1 - (1 - x^{2})) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ है। $1 \le x \le \sqrt{2}$ के लिए,$y = |x^{2} - 1| = x^{2} - 1$। क्षेत्रफल $\int_{1}^{\sqrt{2}} (1 - (x^{2} - 1)) dx = \int_{1}^{\sqrt{2}} (2 - x^{2}) dx = [2x - \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\sqrt{2}} = (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (2 - \frac{1}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3}$ है। कुल क्षेत्रफल $= 2 	imes (\frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{2} - 5}{3}) = 2 	imes (\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}) = \frac{8}{3}(\sqrt{2} - 1)$।

वक्रों $y = |x^{2} - 1|$ और $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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