दो परवलयों y=x^{2} और y^{2}=x द्वारा परिबद्ध | vedclass

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Question

(A) दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $(x^{2})^{2}=x$ मिलत

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(A) दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $(x^{2})^{2}=x$ मिलता है,या $x^{4}-x=0$। इसके गुणनखंड करने पर $x(x^{3}-1)=0$ प्राप्त होता है,जिससे $x=0$ और $x=1$ मिलते हैं। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $A(1, 1)$ हैं।अंतराल $[0, 1]$ में,वक्र $y=\sqrt{x}$,वक्र $y=x^{2}$ के ऊपर स्थित है।आवश्यक क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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