वक्रों y^{2}=8x+4 और x^{2}+y^{2}+4sqrt{3}x-4= | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $y^{2}=8x+4$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ (वृत्त) हैं।सबसे पहले,हम वृत्त के समीकरण में $y^{2}=8x+4$ प्रतिस्थापित करके प्रति

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$\frac{1}{3}(4-12\sqrt{3}+8\pi)$

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(C) दिए गए वक्र $y^{2}=8x+4$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ (वृत्त) हैं।सबसे पहले,हम वृत्त के समीकरण में $y^{2}=8x+4$ प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:$x^{2}+(8x+4)+4\sqrt{3}x-4=0$$x^{2}+8x+4\sqrt{3}x=0$$x(x+8+4\sqrt{3})=0$अतः,$x=0$ या $x=-(8+4\sqrt{3})$ है।$x=0$ के लिए,$y^{2}=4 \implies y=\pm 2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 2)$ और $(0, -2)$ हैं।वृत्त के समीकरण को $(x+2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=16$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो केंद्र $(-2\sqrt{3}, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला एक वृत्त है।चूंकि क्षेत्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,क्षेत्रफल $= 2 	imes \int_{0}^{2} (x_{circle} - x_{parabola}) dy$ होगा।वृत्त से: $x = -2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}$.परवलय से: $x = \frac{y^{2}-4}{8}$.क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} ((-2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}) - (\frac{y^{2}-4}{8})) dy$$= 2 [ -2\sqrt{3}y + \frac{y}{2}\sqrt{16-y^{2}} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{y}{4}) - \frac{y^{3}}{24} + \frac{y}{2} ]_{0}^{2}$$= 2 [ (-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 8(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3} + 1) ]$$= 2 [ -2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} + \frac{2}{3} ] = \frac{1}{3} (4 - 12\sqrt{3} + 8\pi)$.

वक्रों $y^{2}=8x+4$ और $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ द्वारा परिबद्ध छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

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दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ और $(x-1)^2+y^2=1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए कि वक्र $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ और $x$-अक्ष के बीच $x = -\pi$ से $x = \pi$ तक घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ है। तो $A^2$ का मान ........... है।

क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

वक्र $y = (x + 1)^2$,$y = (x - 1)^2$ और रेखा $y = \frac{1}{4}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$ के लिए वक्रों $y = \sin^{-1}(\cos x)$ और $y = \cos^{-1}(\sin x)$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:

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