दो वृत्तों x^2+y^2=1 और (x-1)^2+y^2=1 द्वारा | vedclass

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Question

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:

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$\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:$(x-1)^2+(1-x^2)=1$$x^2-2x+1+1-x^2=1$$-2x+2=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर, $y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ हैं।घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 	imes$ (प्रथम चतुर्थांश में $x=0, x=\frac{1}{2}, x=1$ और वृत्तों के चाप द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल) होगा।क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + \int_{1/2}^1 \sqrt{1-x^2} dx ight]$सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 2 \left[ \left( \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight)_0^{1/2} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight)_{1/2}^1 ight]$$= 2 \left[ \left( \frac{-1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight) + \left( (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight) ight]$$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} ight] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ और $(x-1)^2+y^2=1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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