બે વર્તુળો x^2+y^2=1 અને (x-1)^2+y^2=1 દ્વારા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા:$(x-1)^2+(1-x^2)=1$$x^2-2x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા:$(x-1)^2+(1-x^2)=1$$x^2-2x+1+1-x^2=1$$-2x+2=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$x=\frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા, $y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ અને $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ છે.ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે, તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $2 	imes$ (પ્રથમ ચરણમાં $x=0, x=\frac{1}{2}, x=1$ અને વર્તુળોના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ) થશે.ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_0^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + \int_{1/2}^1 \sqrt{1-x^2} dx ight]$સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \left( \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight)_0^{1/2} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight)_{1/2}^1 ight]$$= 2 \left[ \left( \frac{-1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight) + \left( (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight) ight]$$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} ight] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

પ્રદેશ $\{(x, y): 0 \leq y \leq x^{2}+1, 0 \leq y \leq x+1, \frac{1}{2} \leq x \leq 2\}$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $x = -\sqrt{y}$,તથા $x$-અક્ષની ઉપર વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્રો $y=x^2$ અને $y=|x|$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

$A = \{(x,y) : x^2 + y^2 \le 1 \text{ અને } y^2 \le 1-x \}$ દ્વારા વર્ણવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module