बिंदु (1,0) से गुजरने वाले और वृत्तों x^2+y^2 | vedclass

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Question

(D) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूंकि यह $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,जिससे $2g+c=-1$ प्राप्त होता ह

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$(0,0)$

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(D) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूंकि यह $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,जिससे $2g+c=-1$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)। वृत्त $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ के लंबकोणीय है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ का उपयोग करने पर $-2g+4f=c+1$ (समीकरण $2$)। वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ के भी लंबकोणीय है। इससे $6g-2f=c+1$ (समीकरण $3$)। समीकरण $3$ से समीकरण $2$ घटाने पर $8g-6f=0$ प्राप्त होता है,अर्थात $f = \frac{4}{3}g$। इन मानों को हल करने पर $g=0, f=0, c=-1$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0,0)$ है।

बिंदु $(1,0)$ से गुजरने वाले और वृत्तों $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ तथा $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ को लंबकोणीय (orthogonally) काटने वाले वृत्त का केंद्र है

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