$12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ और $2x - 3y + 4 = 0$ रेखाओं के युग्म द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $(\alpha, \beta)$ है। तो,$\alpha + 2\beta =$

$xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ द्वारा दी गई सीधी रेखाओं के दो युग्मों द्वारा निर्मित वर्ग के विकर्णों का संयुक्त समीकरण क्या है?

मान लीजिए $P$,$2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म है। निम्नलिखित स्वतंत्र कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $\alpha$,रेखाओं के युग्म $P$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक है।
(ii) $\beta$,मूल बिंदु से गुजरने वाली $P$ की रेखाओं में से एक की ढाल है।
(iii) $\gamma$,$P$ के कोणीय द्विभाजकों के युग्म के समीकरण में अचर पद है।
तो,

दो रेखा युग्मों $l^2x^2 - m^2y^2 - n(lx + my) = 0$ और $l^2x^2 - m^2y^2 + n(lx - my) = 0$ द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

$2 x^2-3 x y-2 y^2=0$ दो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ को दर्शाता है। $2 x^2-3 x y-2 y^2-x+7 y-3=0$ अन्य दो रेखाओं $L_3$ और $L_4$ को दर्शाता है। मान लीजिए $A$,रेखाओं $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है और $B$,रेखाओं $L_2$ और $L_4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। रेखाओं $AB$,$L_3$ और $L_4$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है

वह रेखा जिसका समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं के युग्म $xy-x-y+1=0$ में से प्रत्येक के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।