$(x^4-\frac{1}{x^3})^{15}$ के विस्तार में $x^{18}$ का गुणांक $...........$ है।

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha > 0, \beta > 0$ इस प्रकार हैं कि $\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ है। यदि $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10k$ है,तो $k$ का मान क्या है?

$(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या क्या है?

यदि $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$-वें और $(r+1)$-वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+x)^{15}$ के विस्तार में $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{15}$ द्विपद गुणांक हैं, तो $\frac{c_{1}}{c_{0}}+2 \frac{c_{2}}{c_{1}}+3 \frac{c_{3}}{c_{2}}+\ldots+15 \frac{c_{15}}{c_{14}}$ का मान ज्ञात कीजिए।