(1 + x)(1 - x)^n के विस्तार में x^n का गुणांक | vedclass

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Question

(B) व्यंजक $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ है। हमें इस व्यंजक में $x^n$ का गुणांक ज्ञात करना है। $(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक सामान्य प

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$(-1)^n(1 - n)$

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(B) व्यंजक $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ है। हमें इस व्यंजक में $x^n$ का गुणांक ज्ञात करना है। $(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (1)^{n-r} (-x)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^r$ द्वारा दिया जाता है। $r = n$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n} (-1)^n = (-1)^n$ है। $x(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक $(1 - x)^n$ में $x^{n-1}$ का गुणांक है। $r = n-1$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n-1} (-1)^{n-1} = n (-1)^{n-1} = -n (-1)^n$ है। इन दोनों को जोड़ने पर,कुल गुणांक $(-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1 - n)$ प्राप्त होता है।

$(1 + x)(1 - x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है

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