वह वक्र,जिसका गुण यह है कि अभिलंब पर कोटि (or | vedclass

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Question

(A) माना $P(x, y)$ वक्र पर एक बिंदु है। माना $PM$ कोटि है,जहाँ $M$ $x$-अक्ष पर है। माना $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $T$ पर मिलता है। माना $	heta$ वह को

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$x + a \ln \left( \sqrt{y^2 - a^2} + y \right) = c$

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(A) माना $P(x, y)$ वक्र पर एक बिंदु है। माना $PM$ कोटि है,जहाँ $M$ $x$-अक्ष पर है। माना $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $T$ पर मिलता है। माना $	heta$ वह कोण है जो स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ बनाती है। तब अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\pi - 	heta$ कोण बनाता है। कोटि $PM$ का अभिलंब $PT$ पर प्रक्षेप $PN$ है। समकोण त्रिभुज $	riangle PMN$ में,कोण $\angle PMN = 	heta$ है। अतः,$PN = PM \cos 	heta = y \cos 	heta$। दिया गया है कि $PN = a$,इसलिए $y \cos 	heta = a$। चूंकि $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1 + 	an^2 	heta}}$ और $	an 	heta = \frac{dy}{dx} = y_1$,हमें $y \frac{1}{\sqrt{1 + y_1^2}} = a$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = a^2(1 + y_1^2)$,जिससे $y_1^2 = \frac{y^2 - a^2}{a^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a}$। चरों को अलग करने पर,$\int \frac{a \, dy}{\sqrt{y^2 - a^2}} = \int dx$। समाकलन करने पर,हमें $a \ln |y + \sqrt{y^2 - a^2}| = x + c$ प्राप्त होता है।

वह वक्र,जिसका गुण यह है कि अभिलंब पर कोटि (ordinate) का प्रक्षेप अचर है और उसकी लंबाई $a$ के बराबर है,है:

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