किसी पदार्थ के क्षय की दर उस क्षण उपस्थित मात | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ की शेष मात्रा $x$ है। क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है। अवकल समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \fr

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$\frac{16}{3} 	ext{ gms}$

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(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ की शेष मात्रा $x$ है। क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है। अवकल समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int -k dt \implies \ln x = -kt + C$। $t = 0$ पर,$x = 27$,इसलिए $C = \ln 27$। अतः,$\ln x = -kt + \ln 27$,या $\ln(\frac{x}{27}) = -kt$। $t = 3$ पर,$x = 8$,इसलिए $\ln(\frac{8}{27}) = -3k$। चूँकि $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$,हमें प्राप्त होता है $\ln((\frac{2}{3})^3) = -3k \implies 3 \ln(\frac{2}{3}) = -3k \implies k = -\ln(\frac{2}{3}) = \ln(\frac{3}{2})$। $k$ का मान वापस रखने पर: $\ln(\frac{x}{27}) = -t \ln(\frac{3}{2}) = t \ln(\frac{2}{3})$। $t = 4$ के लिए,$\ln(\frac{x}{27}) = 4 \ln(\frac{2}{3}) = \ln((\frac{2}{3})^4) = \ln(\frac{16}{81})$। अतः,$\frac{x}{27} = \frac{16}{81} \implies x = 27 	imes \frac{16}{81} = \frac{16}{3} 	ext{ gms}$।

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