વક્ર y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5 એ x-અક્ષ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$. વક્ર $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-8a + 4b - 2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{27}{4}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$. વક્ર $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-8a + 4b - 2c = -5$ અથવા $8a - 4b + 2c = 5$ (સમીકરણ $1$) થાય છે. વક્ર $x$-અક્ષને $(-2, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ઢાળ $y'(-2) = 0$. $y'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$. $y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$ (સમીકરણ $2$). આપેલ છે $y'(0) = 3$,તેથી $c = 3$ (સમીકરણ $3$). $c=3$ ને સમીકરણ $1$ અને $2$ માં મૂકતા: $8a - 4b + 6 = 5 \implies 8a - 4b = -1$. $12a - 4b + 3 = 0 \implies 12a - 4b = -3$. બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતા: $(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1) \implies 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2}$. $a = -\frac{1}{2}$ ને $12a - 4b = -3$ માં મૂકતા: $12(-\frac{1}{2}) - 4b = -3 \implies -6 - 4b = -3 \implies -4b = 3 \implies b = -\frac{3}{4}$. આમ,$y(x) = -\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 5$. $y'(x) = -\frac{3}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 3$. $y'(x) = 0$ લેતા: $-\frac{3}{2}(x^{2} + x - 2) = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$. ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2$ અને $x = 1$ છે. $y''(x) = -3x - \frac{3}{2}$. $x = 1$ માટે,$y''(1) = -3 - 1.5 = -4.5 $y(1) = -\frac{1}{2}(1)^{3} - \frac{3}{4}(1)^{2} + 3(1) + 5 = -0.5 - 0.75 + 3 + 5 = 6.75 = \frac{27}{4}$.

Similar Questions

અંતરાલ $[-2, 4]$ માં,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ નું નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $x =$ પર મળે છે.

$2 \text{ units}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt$,$x \in R$. તો $f$ ના સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module