वक्र y=ax^3+bx^2+cx+5,x-अक्ष को (-2,0) पर स्प | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूंकि यह $x$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है: $0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-

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$\frac{7}{4}$

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(B) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूंकि यह $x$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है: $0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$ $0 = -8a + 4b - 2c + 5$ $8a - 4b + 2c = 5$ ... $(i)$ साथ ही,$x=-2$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है: $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$ $12a - 4b + c = 0$ ... $(ii)$ वक्र $y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$ प्राप्त होता है,अतः $Q=(0,5)$। $Q$ पर प्रवणता $3$ है: $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$. $c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर: $(i) \Rightarrow 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1$ ... $(iii)$ $(ii) \Rightarrow 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3$ ... $(iv)$ $(iv)$ में से $(iii)$ को घटाने पर: $(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1) 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$. $a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 -4 - 4b = -1 -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$. अतः,$a+b+c = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 = \frac{-2-3+12}{4} = \frac{7}{4}$.

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