उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण क्या है जो मूल | vedclass

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Question

(A) वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $Y$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए त्रि

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$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx}-2xy=0$

Vedclass · Answer

(A) वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $Y$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $k$ होगी।वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2yk + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2yk$ प्राप्त होता है।इससे,हमें $k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ प्राप्त होता है।$x^2 + y^2 = 2yk$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.समीकरण में $k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ रखने पर:$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left( \frac{x^2+y^2}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.$y$ से गुणा करने पर: $2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $2xy = (x^2+y^2-2y^2) \frac{dy}{dx}$.$2xy = (x^2-y^2) \frac{dy}{dx}$.अतः,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ प्राप्त होता है।

उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण क्या है जो मूल बिंदु से गुजरते हैं और जिनके केंद्र $Y$-अक्ष पर स्थित हैं?

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