मूल बिंदु और समतलों $x+2y+3z=4$ तथा $4x+3y+2z=1$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात (d.r.s.) ज्ञात कीजिए।

बिंदु $A(1,1,1)$ से समतल $\pi$ पर खींचे गए लंब का पाद $P(-3,3,5)$ है। यदि समतल $\pi$ के समांतर और $AP$ के मध्यबिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax-y+cz+d=0$ है,तो $a+c-d=$

समतलों $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ और $8x - 7y + z - 20 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और क्रमशः बिंदुओं $(2, 1, 3)$ और $(0, 1, 2)$ से गुजरने वाले समतलों $P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

यदि समतल $4x + 4y - kz = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में एक बिंदु है,जिसका समतल $x+y=3$ में प्रतिबिंब $Q$ (अर्थात,रेखाखंड $PQ$,समतल $x+y=3$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्य-बिंदु समतल $x+y=3$ पर स्थित है) $z$-अक्ष पर स्थित है। माना $x$-अक्ष से $P$ की दूरी $5$ है। यदि $R$,$xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब है,तो $PR$ की लंबाई है।

मान लीजिए $\theta$ समतलों $P_1=\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})=9$ और $P_2=\vec{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=15$ के बीच का कोण है। मान लीजिए $L$ वह रेखा है जो $P_2$ से बिंदु $(4,-2,5)$ पर मिलती है और $P_2$ के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है। यदि $\alpha$,$L$ और $P_2$ के बीच का कोण है,तो $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ का मान $...........$ है।