बिंदुओं (0, -1, 0) और (0, 0, 1) से गुजरने वाल | vedclass

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Question

(D) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। यह $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ और $c = d$। अर्थात $d = -b = c$।समतल का समीक

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। यह $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ और $c = d$। अर्थात $d = -b = c$।समतल का समीकरण $ax - dy - dz = d$ हो जाता है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, -d, -d)$ है।बिंदुओं $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं। चूंकि रेखा समतल में है,अभिलंब इसके लंबवत है: $a(0) + (-d)(1) + (-d)(1) = 0 \Rightarrow -2d = 0$ (यहाँ $a, b, c$ का उपयोग करते हैं)।बिंदुओं $A(0, -1, 0)$ और $B(0, 0, 1)$ के लिए,सदिश $\vec{AB} = (0, 1, 1)$ है।अभिलंब $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूंकि $\vec{AB}$ समतल में है,$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b$।अतः,$\vec{n} = (a, b, -b)$।समतल और $y - z + 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है। दूसरे समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ है।$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n}| |\vec{n_2}|} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|b + b|}{\sqrt{a^2 + b^2 + b^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2b|}{\sqrt{a^2 + 2b^2} \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{a^2 + 2b^2} = 2|b|$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2 + 2b^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}b$।यदि $a = \sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।यदि $a = -\sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (-\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(-\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।विकल्प $(C)$ $(\sqrt{2}, 1, -1)$ है। विकल्प $(B)$ $(2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2}, 1, -1)$ है,जो समान दिशा को दर्शाता है। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

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