સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $1.6 \times 10^{11} \,m$ છે અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $6.4 \times 10^6 \,m$ છે. સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીના કોણીય વેગમાન અને તેની પોતાની ધરી પરના કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર આશરે કેટલો થાય? (પૃથ્વીને સમાન દળ ઘનતા ધરાવતો નક્કર ગોળો ગણો અને તે સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ફરે છે તેમ ધારો.)

પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે ઉપગ્રહને આપવી પડતી $K.E.$ અને ઉપગ્રહ પૃથ્વીના વાતાવરણની બરાબર ઉપર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે તે માટે આપવી પડતી $K.E.$ નો ગુણોત્તર કેટલો છે?

$Assertion$: અવકાશ રોકેટ સામાન્ય રીતે વિષુવવૃત્તીય રેખા પર પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે.
$Reason$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.

એક મોટું ગોળાકાર દળ $M$ એક સ્થાને સ્થિર છે અને બે સમાન બિંદુવત દળો $m$ ને $M$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા પર રાખવામાં આવ્યા છે (આકૃતિ જુઓ). બિંદુવત દળો $\ell$ લંબાઈના સખત દળરહિત સળિયા દ્વારા જોડાયેલા છે અને આ રચના તેમને જોડતી રેખા પર ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. ત્રણેય દળો માત્ર તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આંતરક્રિયા દ્વારા જ આંતરક્રિયા કરે છે. જ્યારે $M$ ની નજીકનું બિંદુવત દળ $M$ થી $r = 3\ell$ અંતરે હોય,ત્યારે સળિયામાં તણાવ શૂન્ય હોય છે,જ્યાં $m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ છે. $k$ નું મૂલ્ય શોધો.

મંગળ ગ્રહને બે ચંદ્ર છે,ફોબોસ અને ડીમોસ.
$(i)$ ફોબોસનો આવર્તકાળ $7$ કલાક,$39$ મિનિટ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $9.4 \times 10^{3} \; km$ છે. મંગળનું દળ ગણો.
$(ii)$ ધારો કે પૃથ્વી અને મંગળ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં મંગળની કક્ષા પૃથ્વીની કક્ષીય ત્રિજ્યા કરતાં $1.52$ ગણી છે. મંગળનું વર્ષ કેટલા દિવસનું હોય?

પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહના આવર્તકાળમાં સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા $10^{-2}$ છે. જો કક્ષાની ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા નગણ્ય હોય,તો પૃથ્વીના દળમાં સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા કેટલી હશે?