$2x - 5y + z = 3; x + y + 4z = 5$ રેખાને સમાવતા અને $x + 3y + 6z = 1$ સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો બિંદુ $P(1, -2, 3)$ નું સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ માં રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર માપેલું પ્રતિબિંબ $Q$ હોય,તો $PQ$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $P(3, 2, 6)$ અવકાશમાં એક બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ છે. તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર થાય?

રેખા $r = (2i - j + k) + \lambda (-i + j + k)$ અને સમતલ $r \cdot (3i + 2j - k) = 4$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$. ધારો કે $L_1: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda \overrightarrow{a}, \lambda \in R$ અને $L_2: \overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu \overrightarrow{b}, \mu \in R$ બે રેખાઓ છે. જો રેખા $L_3$ એ $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ ને સમાંતર છે,તો $L_3$ કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જો સમતલો $2x - 7y + 4z - 3 = 0$ અને $3x - 5y + 4z + 11 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(-2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz - 7 = 0$ હોય,તો $2a + b + c - 7$ ની કિંમત શોધો.