समतलों $2x - y + z = 3$ और $4x - 3y + 5z = -9$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 3}{5}$ के समांतर समतल का समीकरण है

यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखाओं $x - 3y + 2z + 4 = 0 = 2x + y + 4z + 1$ और $\frac{x - 1/3}{8} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-1}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ $\frac{x-a+d}{\alpha-\delta}=\frac{y-a}{\alpha}=\frac{z-a-d}{\alpha+\delta}$ और $\frac{x-b+c}{\beta-\gamma}=\frac{y-b}{\beta}=\frac{z-b-c}{\beta+\gamma}$ समतलीय हैं।

मान लीजिए $P(3, 2, 6)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु है और $Q$ रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ पर एक बिंदु है। $\mu$ के किस मान के लिए सदिश $\vec{PQ}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समांतर होगा?

रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12}$ और समतल $x-y+z=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से बिंदु $(-1, -5, -10)$ की दूरी क्या है ($\text{इकाई}.$ में)?

यदि रेखाओं $r = \hat{i} - 6\hat{j} + (p \sec \alpha) \hat{k} + t(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ और $r = 4\hat{j} + \hat{k} + \lambda(2\hat{i} + (p \tan \alpha) \hat{j} + 2\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ है, (जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), तो $p =$