આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન પાતળી નળાકાર ડિસ્કને બે સમાન દળરહિત સ્પ્રિંગ્સ સાથે જોડવામાં આવી છે,જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે અને તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગ્સ ડિસ્કની ધરી સાથે તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે બંને બાજુએ સપ્રમાણ રીતે જોડાયેલ છે. ધરી દળરહિત છે અને સ્પ્રિંગ્સ તથા ધરી બંને સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. દરેક સ્પ્રિંગની ખેંચાયા વગરની લંબાઈ $L$ છે. ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની સંતુલન સ્થિતિમાં છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ દીવાલથી $L$ અંતરે છે. ડિસ્ક $V_0 \hat{i}$ વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે. ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
$1.$ જ્યારે ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની સંતુલન સ્થિતિથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ કેટલું હશે?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કઈ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ નું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે જેના માટે ડિસ્ક સરક્યા વિના ગબડશે?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$

બે ડિસ્ક પાસે તેમના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{1}$ અને $I_{2}$ છે. તેઓ અનુક્રમે $\omega_{1}$ અને $\omega_{2}$ કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે અને તેમને એકબીજાના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે જેથી તેમની પરિભ્રમણની અક્ષો એક જ રેખા પર આવે. આ પ્રક્રિયામાં તંત્રની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો કેટલો હશે?

એક કણ $(0\,m, 8\,m)$ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $3\, \hat{i} \,m/s$ ના સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે. $5\,s$ પછી,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કણનો કોણીય વેગ કેટલો હશે?

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાને બે અસમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. $M/8$ દળ ધરાવતા નાના ભાગને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં અને મોટા ભાગને $t$ જાડાઈ અને $2R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો $I_1$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા હોય અને $I_2$ એ તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા હોય, તો તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_2/I_1 = . . . . . . $.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળાની તેની ભૌમિતિક અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને પીગાળીને $r$ ત્રિજ્યા અને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ તકતીની તેની ધારને સ્પર્શતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $I$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.