आकृति में r_1 और r_2 त्रिज्या वाले दो संकेंद् | vedclass

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Question

(A) आकृति में दिखाए अनुसार $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक संकेंद्रित गोलाकार कवच पर विचार करें।स्थिर अवस्था में,इस कवच से होकर ऊष्मा के प्रवाह की

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$\frac{{{r_1}\,{r_2}}}{{({r_2} - {r_1})}}$

Vedclass · Answer

(A) आकृति में दिखाए अनुसार $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक संकेंद्रित गोलाकार कवच पर विचार करें।स्थिर अवस्था में,इस कवच से होकर ऊष्मा के प्रवाह की त्रिज्यीय दर $H$ फूरियर के ऊष्मा चालन नियम द्वारा दी जाती है:$H = \frac{{dQ}}{{dt}} = - KA\frac{{dT}}{{dr}}$चूंकि गोलाकार कवच का क्षेत्रफल $A = 4\pi {r^2}$ है,इसलिए हमारे पास है:$H = - K(4\pi {r^2})\frac{{dT}}{{dr}}$समाकलन करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$\frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H}dT$$r_1$ से $r_2$ और $T_1$ से $T_2$ तक समाकलन करने पर:$\int_{{r_1}}^{{r_2}} \frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H} \int_{{T_1}}^{{T_2}} dT$$\left[ - \frac{1}{r} \right]_{{r_1}}^{{r_2}} = - \frac{{4\pi K}}{H} (T_2 - T_1)$$\left( \frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}} \right) = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$$\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{{r_1}{r_2}}} = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$$H$ के लिए हल करने पर:$H = \frac{{4\pi K{r_1}{r_2}({T_1} - {T_2})}}{{{r_2} - {r_1}}}$अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}$ के समानुपाती है।

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