$16x^2 + 25y^2 = 400$ की नाभियाँ (foci) हैं

मान लीजिए $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b)$ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभिलंब की लंबाई $10$ है। यदि इसकी उत्केंद्रता $e$,फलन $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ का अधिकतम मान है,तो $a^{2} + b^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $P : y^2 = 4x$ और दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उनका उभयनिष्ठ नाभिलंब (latus rectum) है। यदि $E$ की उत्केंद्रता (eccentricity) $e$ है, तो $e^2 + 2\sqrt{2}$ का मान . . . . . . है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ के नाभिलंब के सभी सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। इस प्रकार बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

एक दीवार फर्श के साथ $135^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। $l$ लंबाई की एक सीढ़ी दीवार पर टिकी हुई है। जैसे-जैसे सीढ़ी नीचे फिसलती है,उसका मध्य-बिंदु एक दीर्घवृत्त (ellipse) का चाप बनाता है। तो,दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है

यदि $OB$ एक दीर्घवृत्त का अर्ध-लघु अक्ष है,$F_1$ और $F_2$ इसकी नाभियाँ हैं और $F_1B$ तथा $F_2B$ के बीच का कोण समकोण है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता का वर्ग क्या है?