વિધેય $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ એ કઈ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે?

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ $f''(x)$ બાકીના દરેક જગ્યાએ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | વ્યાખ્યાયિત નથી | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ નો સંભવિત આલેખ કયો છે?

સામાન્ય સંકેતમાં $\Delta \nabla$ નું મૂલ્ય કોના બરાબર છે?

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે,જેથી $g^{\prime \prime}(x)$ સતત છે,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,અને $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{વિધાન}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{વિધાન}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

વિધેય $f(x) = x \cos x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો. સાચું વિધાન ઓળખો.

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષે $x=1$ આગળ પ્રથમ વિકલિત શું થાય?