फलन f(x) = log(1 + x) - frac{2x}{2 + x} किस अ | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log(1 + x) - \frac{2x}{2 + x}$ है।फलन के वर्धमान होने की जाँच के लिए हम इसका अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{

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$(0, \infty)$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \log(1 + x) - \frac{2x}{2 + x}$ है।फलन के वर्धमान होने की जाँच के लिए हम इसका अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1 + x)] - \frac{d}{dx} \left[ \frac{2x}{2 + x} \right]$भागफल नियम का उपयोग करने पर:$f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(2 + x)(2) - (2x)(1)}{(2 + x)^2}$$f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2 + x)^2} = \frac{1}{1 + x} - \frac{4}{(2 + x)^2}$सरल करने पर:$f'(x) = \frac{(2 + x)^2 - 4(1 + x)}{(1 + x)(2 + x)^2} = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1 + x)(2 + x)^2} = \frac{x^2}{(1 + x)(2 + x)^2}$फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।यहाँ $x^2 \ge 0$ और $(2 + x)^2 > 0$ है,अतः $f'(x) > 0$ तब होगा जब $1 + x > 0$ अर्थात $x > -1$ हो।दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x > 0$ के लिए फलन वर्धमान है,अतः सही विकल्प $(0, \infty)$ है।

फलन $f(x) = \log(1 + x) - \frac{2x}{2 + x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है?

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