વિકલ સમીકરણ (x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.તેને આ રીતે લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.ધારો કે $v = y^{2}$,તેથી $\f

Vedclass · Accepted Answer

$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.તેને આ રીતે લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.ધારો કે $v = y^{2}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2y} \frac{dv}{dx} = \frac{v-x}{y(5x+v)} \implies \frac{dv}{dx} = 2 \frac{v-x}{5x+v}$.ધારો કે $v = kx$,તેથી $\frac{dv}{dx} = k + x \frac{dk}{dx}$.$k + x \frac{dk}{dx} = 2 \frac{kx-x}{5x+kx} = 2 \frac{k-1}{5+k}$.$x \frac{dk}{dx} = \frac{2k-2}{k+5} - k = \frac{2k-2-k^{2}-5k}{k+5} = -\frac{k^{2}+3k+2}{k+5} = -\frac{(k+1)(k+2)}{k+5}$.ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{k+5}{(k+1)(k+2)} dk = -\int \frac{dx}{x}$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{k+5}{(k+1)(k+2)} = \frac{4}{k+1} - \frac{3}{k+2}$.સંકલન કરતા: $4 \ln|k+1| - 3 \ln|k+2| = -\ln|x| + \ln|C|$.$\ln|\frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}}| = \ln|\frac{C}{x}| \implies \frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}} = \frac{C}{x}$.$k = \frac{v}{x} = \frac{y^{2}}{x}$ મૂકતા: $\frac{(\frac{y^{2}}{x}+1)^{4}}{(\frac{y^{2}}{x}+2)^{3}} = \frac{C}{x} \implies \frac{(y^{2}+x)^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{x^{3}}{(y^{2}+2x)^{3}} = \frac{C}{x}$.$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$.

વિકલ સમીકરણ $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y + x \cdot \frac{dy}{dx}) \cdot \sin(xy) = \cos x$ નો $x = 0$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \sin(x + y) + \cos(x + y)$ નો ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$, જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 0$, નો ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો:

$(1,0)$ માંથી પસાર થતા અને વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{y-1}{x^2+x}$ હોય તેવા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module