अवकल समीकरण (x sin frac{y}{x}) dy = (y sin fr | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x}

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$\cos \frac{y}{x} = \log_e x + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \operatorname{cosec} \frac{y}{x}$ माना $\frac{y}{x} = v$,तब $y = vx$,और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \operatorname{cosec} v$ $x \frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\operatorname{cosec} v} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow \sin v dv = -\frac{dx}{x}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v dv = -\int \frac{1}{x} dx$ $-\cos v = -\log_e |x| + C$ $\cos v = \log_e |x| + C'$ $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos \frac{y}{x} = \log_e x + C$

अवकल समीकरण $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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