अवकल समीकरण x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0 का व्य | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$ $\Rightarrow x^2 dy = (xy - y^2) dx$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2}$ यह एक स

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$y \log x = x + cy$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$ $\Rightarrow x^2 dy = (xy - y^2) dx$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2}$ यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) - (vx)^2}{x^2} = \frac{vx^2 - v^2x^2}{x^2} = v - v^2$ $x \frac{dv}{dx} = v - v^2 - v = -v^2$ चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{-v^2} = \frac{dx}{x}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int -v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$ $\frac{1}{v} = \ln|x| + C$ चूंकि $v = \frac{y}{x}$, इसलिए: $\frac{x}{y} = \ln|x| + C$ $x = y \ln|x| + Cy$ $y \log x = x + Cy$।

अवकल समीकरण $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$ का व्यापक हल है

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