अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = sin(x-y) + cos(x-y | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin(x-y) + \cos(x-y)$.माना $x-y = v$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx}

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$\log \left|\frac{	an \frac{(x-y)}{2}-1}{	an \frac{(x-y)}{2}}ight|=x+c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin(x-y) + \cos(x-y)$.माना $x-y = v$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \sin v + \cos v$.अतः $\frac{dv}{dx} = 1 - (\sin v + \cos v)$, यानी $\frac{dv}{1 - (\sin v + \cos v)} = dx$.अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 	an(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - 	an^2(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:$\frac{dv}{1 - \left(\frac{2 	an(v/2) + 1 - 	an^2(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)}ight)} = dx$.हर को सरल करने पर: $\frac{(1 + 	an^2(v/2)) dv}{1 + 	an^2(v/2) - 2 	an(v/2) - 1 + 	an^2(v/2)} = dx$.यह $\frac{\sec^2(v/2) dv}{2 	an^2(v/2) - 2 	an(v/2)} = dx$ में सरल हो जाता है।माना $u = 	an(v/2)$, तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$, इसलिए $\sec^2(v/2) dv = 2 du$.प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 du}{2(u^2 - u)} = dx \Rightarrow \frac{du}{u(u-1)} = dx$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du = \int dx$.समाकलन करने पर: $\log|u-1| - \log|u| = x + C$.$u = 	an(\frac{x-y}{2})$ रखने पर: $\log \left| \frac{	an(\frac{x-y}{2}) - 1}{	an(\frac{x-y}{2})} ight| = x + C$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin(x-y) + \cos(x-y)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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