अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = sin(x + y) + cos(x | vedclass

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Question

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv

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$\log |1 + 	an (\frac{x + y}{2})| = x + c$, जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$ प्राप्त होता है।$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$ है।अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $1 + \sin v + \cos v = 2\cos^2(\frac{v}{2}) + 2\sin(\frac{v}{2})\cos(\frac{v}{2}) = 2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + 	an(\frac{v}{2})]$ है।अतः, $\int \frac{dv}{2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + 	an(\frac{v}{2})]} = \int dx$ है।माना $u = 1 + 	an(\frac{v}{2})$ है, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{v}{2}) dv = \frac{1}{2\cos^2(\frac{v}{2})} dv$ है।इस प्रकार, $\int \frac{du}{u} = \int dx \implies \log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\log |1 + 	an(\frac{x + y}{2})| = x + c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin(x + y) + \cos(x + y)$ का हल है

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