अवकल समीकरण frac{d y}{d x}=frac{x+y+1}{2 x+2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$ माना $x+y=v$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$, अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d

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$\log _{e}|3 x+3 y+2|+3 x-6 y=C$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$ माना $x+y=v$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$, अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$ $\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$ चरों को पृथक करने पर: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$ अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$ $\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$ $\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$ $v=x+y$ रखने पर: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$ $9$ से गुणा करने पर: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$ $6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$ $-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$ $-1$ से गुणा करने पर: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$ अतः, सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$ का व्यापक हल है

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