સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા જે તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$ ને ભાગે છે,તે કઈ છે?

એક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષામાં $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં પ્રથમ $6$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. વિદ્યાર્થી પાસે ઉપલબ્ધ પસંદગીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન-$1$: $10$ એકસમાન દડાને $4$ ભિન્ન ખોખામાં $^9C_3$ રીતે વહેંચી શકાય કે જેથી કોઈ ખોખું ખાલી ન રહે.
વિધાન-$2$: $9$ સ્થાનો પૈકી કોઈપણ $3$ સ્થાનો $^9C_3$ રીતે પસંદ કરી શકાય.

એક પેટીમાં $2$ સફેદ દડા,$3$ કાળા દડા અને $4$ લાલ દડા છે. જો ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો પસંદગીમાં આવે તે રીતે પેટીમાંથી $3$ દડા કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

$\binom{n}{r+1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \dots$

દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
વિધાન-$1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ $^{10}C_5$ રીતે ખરીદી શકે છે.
વિધાન-$2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તે રીતોની સંખ્યા એ $6$ '$A$' અને $4$ '$B$' ને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.