$\binom{n}{r+1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \dots$

એક કંપનીમાં $10$ કર્મચારીઓ છે. કંપનીએ ઓછામાં ઓછા ત્રણ કર્મચારીઓનો સમાવેશ કરીને અને ઓછામાં ઓછા ત્રણ કર્મચારીઓને બાકાત રાખીને એક ટીમ બનાવવાનું નક્કી કર્યું છે. તો ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

પ્રથમ $50$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી $p$ અને $q$ પસંદ કરીને એવી ક્રમિત જોડીઓ $(p, q)$ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી $p > q$ થાય?

એક વિદ્યાર્થીને $2n+1$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $255$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ હોય,તો આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

જો $\binom{a^2+a}{3} = \binom{a^2+a}{9}$ હોય,તો $a = \dots$