अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 का समाक | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y

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$x^2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ है। $IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$. अतः,समाकलन गुणक $x^2$ है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है। $(x \neq 0)$

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मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $y dx + (x - y^2) dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin x$ रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P$ है

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