રેખા $y=x+1$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ હોય,તો $(3r)^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 288$ ને સ્પર્શતી રેખા જે યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો $\text{Area}(\triangle OAB) = $ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે)

$9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ ના લેટસ રેક્ટમ (latus rectum) ની લંબાઈ શોધો.

એક ઉપવલયમાં $OB$ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,$S$ અને $S^{\prime}$ નાભિઓ છે અને ખૂણો $\angle SBS^{\prime}$ કાટખૂણો છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જે દરેક વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ બંનેને સ્પર્શે છે. ધારો કે આ રેખાઓ બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. તે ઉપવલયને ધ્યાનમાં લો જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને જેની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $OQ$ છે. જો આ ઉપવલયની ગૌણ ધરીની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $1$ છે.
$(B)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{2}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ છે.
$(C)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ છે.
$(D)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ પર,રેખા $2x - 3y + 25 = 0$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ $M$ કયું છે?