रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा है। यदि यह रेखा निकटतम नियता (directrix) और $x$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ और उसकी नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

$P$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है। $N$,$P$ से अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) पर डाले गए लंब का पाद है। $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा अनुप्रस्थ अक्ष को $T$ पर मिलती है। यदि $O$ अतिपरवलय का केंद्र है,तो $OT \cdot ON$ का मान क्या है?

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) का केंद्र,शीर्ष और नाभि क्रमशः $(0, 0)$,$(4, 0)$ और $(6, 0)$ हैं,तो अतिपरवलय का समीकरण क्या है?

$P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु हैं जहाँ $\phi+\theta=\frac{\pi}{2}$ है। यदि $(h, k)$ बिंदु $P$ और $Q$ पर खींचे गए अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $k=$

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का केंद्र मूल बिंदु पर है और नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C_1$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को स्पर्श करता है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $C_2$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को उसके शीर्ष पर स्पर्श करता है और जिसका केंद्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $C_1$ और $C_2$ के क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्रमशः $36 \pi$ और $4 \pi$ हैं,तो $H$ के नाभिलंब की लंबाई (इकाइयों में) क्या है?