रेखाएँ overline{r}=overline{a}+lambda(overlin | vedclass

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Question

(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करत

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$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$

Vedclass · Answer

(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो। प्रतिच्छेदन के लिए शर्त $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{v_1} 	imes \overline{v_2}) = 0$ है। यहाँ,$\overline{a_1} = \overline{a}$,$\overline{v_1} = \overline{b} 	imes \overline{c}$,$\overline{a_2} = \overline{c}$,और $\overline{v_2} = \overline{a} 	imes \overline{b}$ है। इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot ((\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes (\overline{a} 	imes \overline{b})) = 0$। सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\overline{x} 	imes \overline{y}) 	imes \overline{z} = (\overline{x} \cdot \overline{z})\overline{y} - (\overline{y} \cdot \overline{z})\overline{x}$ का उपयोग करके,हम $(\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes (\overline{a} 	imes \overline{b})$ को सरल करते हैं। मान लीजिए $\overline{d} = \overline{a} 	imes \overline{b}$। तब $(\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes \overline{d} = (\overline{b} \cdot \overline{d})\overline{c} - (\overline{c} \cdot \overline{d})\overline{b}$। चूँकि $\overline{d} = \overline{a} 	imes \overline{b}$,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{d} = [\overline{c} \overline{a} \overline{b}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ होता है। इस प्रकार,सदिश गुणनफल $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}$ प्राप्त होता है। शर्त $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot (-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}) = 0$ बन जाती है। इसका अर्थ है कि $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] (\overline{c} \cdot \overline{b} - \overline{a} \cdot \overline{b}) = 0$। यह शर्त तब संतुष्ट होती है यदि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$ हो।

रेखाएँ $\overline{r}=\overline{a}+\lambda(\overline{b} \times \overline{c})$ और $\overline{r}=\overline{c}+\mu(\overline{a} \times \overline{b})$ प्रतिच्छेद करेंगी यदि

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यदि सदिश $a$,$b$ और $c$ समतलीय हैं,तो $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

यदि सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक का आयतन,जिसके शीर्ष $A \equiv (1, -6, 10)$,$B \equiv (-1, -3, 7)$,$C \equiv (5, -1, k)$ और $D \equiv (7, -4, 7)$ हैं,$11$ घन इकाई है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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