રેખાઓ $y=2x+\sqrt{76}$ અને $2y+x=8$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ ને સ્પર્શે છે. જો આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ એક એવા વર્તુળ પર આવેલું હોય જેનું કેન્દ્ર ઉપવલયના કેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય,તો તે વર્તુળનું સમીકરણ શું છે?

શંકુ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ઉપવલય $x^{2}+4y^{2}=4$ ની ગૌણ અક્ષના ધન છેડામાંથી દોરવામાં આવતી જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે રેખા $2x + 3y - k = 0, k > 0$,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો રેખાખંડ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ હોય અને ઉપવલય $x^2 + 9y^2 = k^2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $2m + n$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય?

ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $C: x^2 + y^2 = 4$ પર આવેલું છે અને બિંદુ $(2h + 1, 3k + 2)$ એ $e$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતા ઉપવલય પર આવેલું છે. તો $\frac{5}{e^2}$ ની કિંમત . . . . . . . જેટલી થાય.