$x^2+y^2=1$ और $x^2+y^2-2x+y=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक समतल में दो स्थिर बिंदु हैं और $P$ एक अन्य चर बिंदु है,इस प्रकार कि $PA^2 + PB^2 = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है),तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ क्या है?

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं। $P$ के बिंदुपथ (locus) का समीकरण ज्ञात कीजिए:

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ और $b$ लंबाई की दो छड़ें निर्देशांक अक्षों पर इस प्रकार फिसलती हैं कि उनके सिरे हमेशा एकवृत्तीय (concyclic) रहते हैं। सिरों से गुजरने वाले वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

वृत्त $x^{2} + y^{2} = 4$ की उस जीवा के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो वृत्त के दीर्घ चाप पर $45^{\circ}$ का कोण अंतरित करती है।