$x^2-2x+y^2=0$ વર્તુળ પરના બિંદુ $(0,0)$ માંથી દોરવામાં આવેલી જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?

ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતું એક ચલ વર્તુળ દોરવામાં આવે છે. તે $X$ અને $Y$ અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે,જેથી $OA + 2OB = K$ (શૂન્યતર અચળાંક) થાય. તો આ વર્તુળ હંમેશા ઉગમબિંદુ સિવાયના એક નિશ્ચિત બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $P$ કઈ રેખા પર આવેલું છે?

ધારો કે $A=(2,0)$ અને $B=(0,-2)$ છે. ધારો કે $P$ એવું કોઈ બિંદુ છે કે જેથી $P$ થી $A$ અને $B$ ના અંતરનો સરવાળો $4$ થાય. તો બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

એક વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તથા $(0, 3)$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળને પણ સ્પર્શે છે. આ વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો.

વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 4$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક,યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં મળે છે,તો

ધારો કે $A$ એ બિંદુ $(1, 2)$ છે અને $B$ એ વક્ર $x^2 + y^2 = 16$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. જો બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું કેન્દ્ર,જે રેખાખંડ $AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તે બિંદુ $C(\alpha, \beta)$ હોય,તો રેખાખંડ $AC$ ની લંબાઈ શોધો.