શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \lambda & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ વ્યસ્ત હોય,જો

$\left| \begin{array}{ccc} x & 3x + 2 & 2x - 1 \\ 2x - 1 & 4x & 3x + 1 \\ 7x - 2 & 17x + 6 & 12x - 1 \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x, y, z$ એ સામાન્ય તફાવત $d$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,$x \neq 3d$,અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,તો $k^2$ ની કિંમત ..... છે.

ધારો કે $\left|\begin{array}{ccc}x^2+x+1 & x+1 & 2x-3 \\ 3x^2-1 & x+2 & x-1 \\ x^2+5x+1 & 2x+3 & x+4\end{array}\right| = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ એ $x$ માં એક નિત્યસમ છે. જો $a, b, c, d$ જાણીતા હોય, તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $(x, 0), (1, 1)$ અને $(0, 2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$(1+\cos^2 \theta) x + \sin^2 \theta y + 4 \sin 3\theta z = 0$
$\cos^2 \theta x + (1+\sin^2 \theta) y + 4 \sin 3\theta z = 0$
$\cos^2 \theta x + \sin^2 \theta y + (1+4 \sin 3\theta) z = 0$
ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\theta$ ની કિંમત શોધો.