left(frac{1}{x}right)^{x} का अधिकतम मान क्या | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{x} = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के

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$e^{1/e}$

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(C) मान लीजिए $f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{x} = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = -(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x)$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = -f(x)(1 + \ln x)$ है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 + \ln x = 0$,अर्थात $\ln x = -1$,जिससे $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,$f'(x)$ के चिह्न को देखने पर,$x  0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) अधिकतम मान $f\left(\frac{1}{e}\right) = \left(\frac{1}{1/e}\right)^{1/e} = e^{1/e}$ है।

$\left(\frac{1}{x}\right)^{x}$ का अधिकतम मान क्या है?

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